1.点E为正方形ABCD的边AD上一点,连接BE,过点A作A垂直BE,垂足为H.延长AH交CD于F,求DE=CF

1.∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°
∵AF⊥BE
∴∠AHE=90°
∴∠HAE+∠HEA=90°
∵∠ABE+∠BEA=90°
即∠ABE+∠HEA=90°
∴∠ABE=∠HAE
即∠ABE=∠DAF
又AB=AD,∠BAE=∠ADF
∴△ABE≌△DAF(ASA)
∴AE=DF(全等三角形的对应边相等)
又∵AD=CD
∴AD-AE=CD-DF
即DE=CF
2.∵在△ABC中,点D,E是AC,AB的中点
∴DE是△ABC的中位线,AD=CD
∴DE‖BC
∴∠EDC=∠BCD=90°,DE‖CF
∴∠ADE=180°-∠EDC=180°-90°=90°
∴∠ADE=∠CDE
又DE=DE,AD=CD
∴△AED≌△CED(SAS)
∴∠A=∠ECD(全等三角形的对应角相等)
∵∠A=∠CDF
∴∠ECD=∠CDF
∴CE‖DF
又DE‖CF
∴四边形DECF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
3.(PS:应该是AE=CF吧?一下过程是按照AE=CF证明的)
(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,∠A=∠C
又AE=CF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
(2)四边形MFNE是平行四边形,理由如下:
∵△ABE≌△CDF
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD
∴0.5BE=0.5DF
即ME=NF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC
∴∠CFD=∠ADF
∴∠AEB=∠ADF
∴BE‖DF
即ME‖NF
又ME=NF
∴四边形MFNE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
4.(1)∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∴BC=DC,GC=EC,∠BCG=∠DCE=90°
∴△BCG≌△DCE(SAS)
(2)∵△BCG≌△DCE
∴∠BGC=∠DEC
∵∠GBC+∠BGC=90°
∴∠GBC+∠DEC=90°
即∠HBE+∠HEB=90°
∴∠BHE=90°
∴BH⊥DE