正数数列{an}中Sn=1/2(an+1/an)(1)求a1,a2,a3(2)猜想an的表达式并证明

正数数列{an}中Sn=1/2(an+1/an)(1)求a1,a2,a3(2)猜想an的表达式并证明
数学人气:414 ℃时间:2020-05-23 10:03:52
优质解答
(1)a1=S1=1/2(a1+1/a1) 解得a1=1
S2=1/2(a2+1/a2)=a1+a2 解得a2=√2-1
S3=1/2(a3+1/a3)=a1+a2+a3 解得a3=√3-√2
(2)猜想an=√n-√(n-1)
证明:①当n=1时,S1=a1=1,1/2(a1+1/a1)=1,命题成立
②假设n=k时,命题成立,即ak=√k-√(k-1)
则当n=k+1时,
a(k+1)=S(k+1)-Sk=1/2[a(k+1+1/a(k+1)-ak-1/ak)]
即a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2√k
即a(k+1)^2+2√k-1=0(解一元二次方程)
解得a(k+1)=√(k+1)-√k(舍去负根),命题也成立
综上,an=√n-√(n-1)
下面是我的解法:
Sn=1/2(an+1/an)①
S(n-1)=1/2(a(n-1)+1/a(n-1))②
①-②,得an=1/2(an-a(n-1)+1/an-1/a(n-1))
即an+(a(n-1)+1/a(n-1))-1/an=0
an^2+2S(n-1)an -1=0
由an>0解得an=√(S(n-1)^2+1)-S(n-1)=1/[√(S(n-1)^2+1)+S(n-1)]
代入①式得Sn=√(S(n-1)^2+1)
Sn^2=S(n-1)^2+1
所以{Sn^2}为首项1公差为1的等差数列
Sn^2=n即Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
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