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若不等式a(2x2+y2)≥x2+2xy对任意非零实数x,y恒成立,则实数a的最小值为_.
若不等式a(2x
2
+y
2
)≥x
2
+2xy对任意非零实数x,y恒成立,则实数a的最小值为______.
数学
人气:921 ℃
时间:2019-08-20 23:57:05
优质解答
由题意可得:不等式x
2
+2xy≤a(2x
2
+y
2
)对于任意非零实数x,y恒成立,
即不等式(2a-1)x
2
-2xy+ay
2
≥0对于任意非零实数x,y恒成立,
即不等式(2a-1)(
x
y
)
2
-2•
x
y
+a≥0对于任意非零实数x,y恒成立,
设t=
x
y
,所以(2a-1)t
2
-2t+a≥0对于一切t∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,
设f(t)=(2a-1)t
2
-2t+a,t∈(-∞,0)∪(0,+∞),
①a=
1
2
时,显然不符合题意,故舍去.
②当a≠
1
2
时,函数的对称轴为t
0
=
1
2a−1
,
所以由题意可得:
2a−1>0
△=4−4(2a−1)a≤0
,解得a≥1.
故答案为1.
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