设A为有限集合,且|A|=n,则A上的二元运算有多少个?

一个二元运算其实就是 A * A 到 A 的映射,故有 n^{n^2} 个二元运算.
可交换对应于关于对角线对称的对儿上取相同的值,故有 n^{1+2+...+n} 个
有单位元对应于有一行有一列取定值(1a=a,a是定值),故有 n^{n^2-2n+1} 个1+2+...+n 表示数对角线以上有多少个元，包括对角线，因为这些是自由的。2n-1 是因为这一行一列有一个公共点，算了两次，应该减掉多算的一次，其他才是自由的。