设f(x)在[0,1]上连续,证明在(0,1)内至少存在一点ξ,使∫f(x)dx=(1-ξ)f(ξ)

构造函数F(x)＝(1-x) × ∫(0到x) f(t)dt,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)＝F(1)＝0,由罗尔中值定理,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得F'(ξ)＝0.
F'(x)＝- ∫(0到x) f(t)dt＋(1-x) × f(x)
所以F'(ξ)＝- ∫(0到ξ) f(t)dt＋(1-ξ) × f(ξ)＝0,即∫(0到ξ)f(x)dx=(1-ξ)f(ξ)请问：F(x)=∫(0到x) f(t)dt + (x-1)f(x) 上 F(0)=F(1)=0是怎么变形看出来的？我知道它肯定相等，但是就是看不出来。麻烦讲一下。