lim(x趋向于0）(arcsinx/x)^(1/x^2) 对数后洛必达做不下去

lim x->0 (arcsinx/x)^(1/x^2)
=e^lim x->0 [ln(arcsinx/x)]/x^2
先求lim x->0 [ln(arcsinx/x)]/x^2
先用等价无穷小带换ln(arcsinx/x)=ln[1+(arcsinx/x-1)]~(arcsinx/x)-1=(arcsinx-x)/x
于是lim x->0 [ln(arcsinx/x)]/x^2=lim (arcsinx-x)/x^3
而arcsinx=x+(1/6)x^3+o(x^3)
所以lim (arcsinx-x)/x^3=1/6
所以最后结果为e^(1/6)