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在平面直角坐标系xOy中,双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B,C两点,若△ABC为直角三角形,则双曲线E的离心率为_.
在平面直角坐标系xOy中,双曲线E:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左顶点为A,过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B,C两点,若△ABC为直角三角形,则双曲线E的离心率为______.
数学
人气:167 ℃
时间:2020-05-22 17:14:36
优质解答
∵过双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B,C两点,
∴设x=c,得
c
2
a
2
-
y
2
b
2
=1,解之得y=±
b
2
a
,得B(c,
b
2
a
)、C(c,-
b
2
a
)
∵左顶点A(-a,0)与B、C构成直角三角形,
∴根据双曲线的对称性,得A到BC的距离等于BC长的一半,
可得c+a=
b
2
a
,即c+a=
c
2
−
a
2
a
,化简得c
2
-ac-2a
2
=0
两边都除以a
2
,得e
2
-e-2=0,解之得e=2(舍负)
即双曲线E的离心率为2
故答案为:2
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双曲线
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