如图ABCD-A1B1C1是长方体,AB=2,AA1=AD=1,求平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的正切值
如图ABCD-A1B1C1是长方体,AB=2,AA1=AD=1,求平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的正切值
数学人气:411 ℃时间:2020-03-18 10:00:56
优质解答
连接AC、A1C1,显然AC//A1C1;过B1做直线L//AC,显然L//A1C1,所以L//面AB1C、L//面A1B1C1D1,因为B1同时在面A1BC和面A1B1C1D1中,所以L即为面AB1C和面A1B1C1D1的交线;过B1做B1E⊥AC,垂足E在AC上,过E做EF//AA1,交点F在A1C1上,连接B1F;由于AA1⊥面A1B1C1D1,EF//AA1,所以EF⊥面A1B1C1D1,所以EF⊥L,即L⊥EF,又L//AC⊥B1E,所以L⊥面EFB1,所以L⊥FB1,所以∠EB1F即为平面AB1C和平面A1B1C1D1所成的二面角;所以tan∠EB1F=EF/FB1①;EF=AA1=1②;FB1为直角三角形A1B1C1斜边A1C1上的高,所以A1C1×FB1=A1B1×B1C1,所以FB1=A1B1×B1C1/A1C1=2×1/√(1∧2+2∧2)=2/√5③;将②、③代入①得:tan∠EB1F=√5/2.
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