线性代数：满秩、行满秩、列满秩矩阵与另一矩阵的相乘后,新的矩阵的秩?

线性代数：满秩、行满秩、列满秩矩阵与另一矩阵的相乘后,新的矩阵的秩?
如Am*n矩阵,另一矩阵B:
1、A为满秩矩阵时,则r(AB)=r(BA)=r(B);
2、A为行满秩矩阵时,则r(BA)=r(B);
3、A为列满秩矩阵时,则r(AB)=r(B).
我对此理解起来很吃力,我通过举例子预算,以上结论确实成立,但脱离距离例子我就大脑很混乱了.
我想请教您：第一,1-3的结论为什么成立,很希望您给我指导,具体如何证明的?
第二,还有就是对于矩阵B,是不是运算时,无论左乘A还是右乘A只要满足矩阵的初等运算法则这个基本条件就行了?