数列{an} 中,a1=2,an+1=an+cn(c是不为零的常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成等比数列. (Ⅰ) 求c的值; (Ⅱ)求{an} 的通项公式; (Ⅲ)证明数列{an−cn}是等差数列.
数列{a
n} 中,a
1=2,a
n+1=a
n+cn(c是不为零的常数,n=1,2,3,…),且a
1,a
2,a
3成等比数列.
(Ⅰ) 求c的值;
(Ⅱ)求{a
n} 的通项公式;
(Ⅲ)证明数列
{}是等差数列.
数学人气:390 ℃时间:2020-03-29 13:26:18
优质解答
(Ⅰ)a
1=2,a
2=2+c,a
3=2+3c,因为a
1,a
2,a
3成等比数列,
所以(2+c)
2=2(2+3c),解得c=0(舍)或c=2.
故c=2;(5分)
(II)当n≥2时,由于a
2-a
1=c,a
3-a
2=2c,a
n-a
n-1=(n-1)c,
所以
an−a1=[1+2++(n−1)]c=c.
又a
1=2,c=2,故a
n=2+n(n-1)=n
2-n+2(n=2,3,).
当n=1时,上式也成立,
所以a
n=n
2-n+2(n=1,2,);(5分)
(Ⅲ)
bn==n−1;b
n+1=n.b
n+1-b
n=1,
∴数列
{}是等差数列.(5分)
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