已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512,且这三项 分别减去1,3,9后成等差数列. (1)求{an}的首项和公比; (2)设Sn=a12+a22+…+an2,求Sn.
已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512,且这三项 分别减去1,3,9后成等差数列.
(1)求{an}的首项和公比;
(2)设Sn=a12+a22+…+an2,求Sn.
数学人气:908 ℃时间:2020-01-30 12:08:03
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(1)根据等比数列的性质,可得a
3•a
5•a
7=a
53=512,解之得a
5=8.
设数列{a
n}的公比为q,则a
3=
,a
7=8q
2,
由题设可得(
-1)+(8q
2-9)=2(8-3)=10
解之得q
2=2或
.
∵{a
n}是递增数列,可得q>1,∴q
2=2,得q=
.
因此a
5=a
1q
4=4a
1=8,解得a
1=2;
(2)由(1)得{a
n}的通项公式为a
n=a
1•q
n-1=2×
()n−1=
()n+1,
∴a
n2=[
()n+1]
2=2
n+1,
可得{a
n2}是以4为首项,公比等于2的等比数列.
因此S
n=a
12+a
22+…+a
n2=
=2
n+2-4.
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