如图,已知A,B,C为不在同一直线上的三点,且AA1∥BB1∥CC1,AA1=BB1=CC1. (1)求证:平面ABC∥平面A1B1C1; (2)若AA1⊥平面ABC,且AC=AA1=4,BC=3,AB=5,求证:A1C丄平面AB1C1 (
如图,已知A,B,C为不在同一直线上的三点,且AA
1∥BB
1∥CC
1,AA
1=BB
1=CC
1.
(1)求证:平面ABC∥平面A
1B
1C
1;
(2)若AA
1⊥平面ABC,且AC=AA
1=4,BC=3,AB=5,求证:A
1C丄平面AB
1C
1(3)在(2)的条件下,设点P为CC
1上的动点,求当PA+PB
1取得最小值时PC的长.
数学人气:963 ℃时间:2019-08-19 20:48:15
优质解答
(1)证明:∵AA
1∥CC
1且AA
1=CC
1∴四边形ACC
1A
1是平行四边形,(1分)
∴AC∥A
1C
1,
∵AC⊄面A
1B
1C
1,A
1C
1⊂面A
1B
1C
1∴AC∥平面A
1B
1C
1,(3分)
同理可得BC∥平面A
1B
1C
1,
又AC∩CB=C,
∴平面ABC∥平面A
1B
1C
1(4分)
(2)证明:∵AA
1⊥平面ABC,AA
1⊂平面ACC
1A
1,∴平面ACC
1A
1⊥平面ABC,(5分)
∵AC=4,BC=3,AB=5,∴AC
2+BC
2=AB
2,∴BC⊥AC (6分)
∵平面ACC
1A
1∩平面ABC=AC,
∴BC⊥平面ACC
1A
1,(7分)
∴BC⊥A
1C,
∵BC∥B
1C
1,∴B
1C
1⊥A
1C
又AA
1⊥AC,AC=AA
1,得ACC
1A
1为正方形,∴A
1C⊥AC
1(8分)
又AC
1∩B
1C
1=C
1,
∴A
1C丄平面AB
1C
1(9分)
(3)将三棱柱ABC-A
1B
1C
1的侧面ACC
1A
1绕侧棱CC
1旋转到与侧面BCC
1B
1在同一平面内如图示,
连结AB
1交CC
1于点P,则由平面几何的知识知,这时PA+PB
1取得最小值,(12分)
∵PC∥BB
1∴
=⇒PC==.(14分)
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