欲求曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围成的图形的面积:
(1)求曲线y^2=x+4与x+2y-4=0的交点,y^2=8-2y,解得交点为(0,2)和(12,-4),x+2y-4=0与x轴交点为(4,0)、与y轴交点为(0,2),即曲线y^2=x+4与x+2y-4=0恰好交于y轴上
(2)作出曲线图,欲求两曲线围成的图形面积即求解两曲线为边界条件的积分函数,简化之,则由图可将求解面积拆分成四部分,分别是:
曲线y^2=x+4在坐标轴第四象限与x轴的负轴、y轴的正轴形成的图形即在x属于[-4,0]区间与x轴围成的图形面积S1;
曲线x+2y-4=0在坐标轴第一象限与x轴的正轴、y轴的负轴形成的三角形面积S2;
曲线y^2=x+4在坐标轴第二第三象限在x属于[-4,12]区间与x轴围城的图形面积S3;
曲线x+2y-4=0在第二象限在x属于[4,12]区间与x轴围城的三角形面积S4
则题中所求面积S=S1+S2+S3-S4
(3)其中,S2、S4都是三角形,
S2=(1/2)*(2*4)=4,
S4=(1/2)*[(12-4)*(|-4|)]=16
(4)求解S1和S3需要对函数y^2=x+4对x在x的对应区间[-4,0]和[-4,12]的积分,
S1对应的x的积分区间为[-4,0],曲线函数为y=(x+4)^(1/2)
S3对应的x的积分区间为[-4,12],曲线函数为y=-(x+4)^(1/2)
则d(S1)=(x+4)^(1/2)dx,x属于[-4,0],积分得S1=16/3
d(S3)=[|-(x+4)^(1/2)|]dx,x属于[-4,12],积分得S3=128/3
(5)则围成的图形面积S=S1+S2+S3-S4=16/3+4+128/3-16=36
所围成的图形面积为36
求由曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围城的图形的面积
求由曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围城的图形的面积
数学人气:211 ℃时间:2020-02-27 14:33:02
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