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已知定义在[-1,1]上的单调函数f(x)满足f(1/3)=log23,且对于任意的x∈[-1,1]都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)为奇函数; (2)试求使f(1-m)+f(1-2m)<0成立的m的取值范围.
已知定义在[-1,1]上的单调函数f(x)满足
f(
1
3
)=lo
g
2
3
,且对于任意的x∈[-1,1]都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)试求使f(1-m)+f(1-2m)<0成立的m的取值范围.
数学
人气:170 ℃
时间:2019-08-17 11:26:06
优质解答
(1)由题意可知:令x=y=0,则
f(0+0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0,
令y=-x,可知f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)由f(1-m)+f(1-2m)<0,
∴f(1-m)<-f(1-2m),
又函数f(x)为奇函数,
所以f(1-m)<f(2m-1),
又函数为单调函数,且
f(
1
3
)=
log
32
>f(0)=0,∴函数在[-1,1]上为增函数,
所以
−1≤1−m≤1
−1≤2m−1≤1
1−m<2m−1
,
解得:
2
3
<m≤1
∴m的取值范围为:
2
3
<m≤1.
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