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一种变压器的铁芯的截面为正十字型,如图,为保证所需的磁通量,要求十字型具有45cm2的面积.问该如何设计正十字型的宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短?
一种变压器的铁芯的截面为正十字型,如图,为保证所需的磁通量,要求十字型具有4
5
cm
2
的面积.问该如何设计正十字型的宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短?
数学
人气:530 ℃
时间:2019-08-20 23:52:20
优质解答
设外接圆的半径为R cm,则 R=
1
2
x
2
+
y
2
.
由2xy-x
2
=4
5
,得 y=
4
5
+
x
2
2x
.
要使外接圆的周长最小,需要R取最小值,也即R
2
取最小值.
设 f(x)=R
2
=
1
4
[x
2
+(
4
5
+
x
2
2x
)
2
]=
5
16
x
2
+
5
x
2
+
5
2
(0<x<2R)
则 f'(x)=
5
8
x
-
10
x
3
.令f'(x)=0 解得x=2 或x=-2(舍去).
当0<x<2 时f'(x)<0;当x>2 时,f'(x)>0.
因此当x=2时,R
2
最小,即R最小,周长最小为
π
10+2
5
cm.
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