2 |
x |
2 |
x2 |
2 |
x |
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=2+2-2=2.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1)
即y=2x-2.
(II)f′(x)=p+
p |
x2 |
2 |
x |
px2-2x+p |
x2 |
令h(x)=px2-2x+p,
要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.
由题意p>0,h(x)=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=
1 |
p |
∴h(x)min=p-
1 |
p |
1 |
p |
即p≥1时,h(x)≥0,f'(x)≥0
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞).
(III)∵g(x)=
2e |
x |
∴x=e时,g(x)min=2;x=1时,g(x)max=2e,
即g(x)∈[2,2e],
当p<0时,h(x)=px2-2x+p,其图象为开口向下的抛物线,对称轴x=
1 |
p |
所以f(x)在x∈[1,e]内是减函数.
当p=0时,h(x)=-2x,因为x∈[1,e],所以h(x)<0,
f′(x)=-
2x |
x2 |
∴当p≤0时,f(x)在[1,e]上单调递减⇒f(x)max=f(1)=0<2,不合题意;
当0<p<1时,由x∈[1,e]⇒x-
1 |
x |
1 |
x |
1 |
x |
又由(2)知当p=1时,f(x)在[1,e]上是增函数,
∴x-
1 |
x |
1 |
e |
1 |
e |
当p≥1时,由(2)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<2,又g(x)在[1,e]上是减函数,
故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],而f(x)max=f(e)=p(e-
1 |
e |
1 |
e |
4e |
e2-1 |
综上所述,实数p的取值范围是(
4e |
e2-1 |