解法一:
a、b、c为正实数,且a+b+c=1
故由柯西不等式得
[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=(1+1+1)^2
--->[3(a+b+c)+6]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=9
--->[3×1+6]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=9
上式两边除以9得
[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=1
故取等号时,得
1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值为1.
解法二:构造函数f(x)=1/(3x+2),则
f'(x)=-3(3x+2)^(-2)
f"(x)=18(3x+2)^(-3)
可见,当x>0,即x为正实数时,
f"(x)>0恒成立
故f(x)在(0,+无穷)内下凸
所以,a、b、c>0时,由琴生不等式得
f(a)+f(b)+f(c)>=3f[(a+b+c)/3]
--->1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)>=3×1/[3(a+b+c)/3+2]=3×1/[3×1/3+2]=1
故1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)>=1
取等号得
1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)最小值为1.
若正数a,b,c满足a+b+c=1,求1/(3a+2) +1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值
若正数a,b,c满足a+b+c=1,求1/(3a+2) +1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值
数学人气:262 ℃时间:2020-02-03 12:35:31
优质解答
我来回答
类似推荐
猜你喜欢
- 1工人叔叔把一根高5dm的圆柱形木料沿底面直径平均分成两个部分这是比原来增加360平方分米球这根木料原来的
- 2把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填入九宫格中,把每行每列以及每条对角线上的三个数相加,得到8个和,这八个和再相加所得到的和最大是多少?(写出过程)
- 3式子±根号16的意义是
- 4笔直的跑道一旁插着51面小旗,它们的间隔是2米.现在要改为只插26面小旗,间隔应改为多少米?
- 5阿尔法粒子散射
- 6过量碳酸氢钠和氢氧化钙反应为什么生成碳酸钙,碳酸钠和水?碳酸氢根到哪里去了啊?
- 7在Rt三角形ABC中,角c=90°.(1)sinB=3/5,a=6,则tanA__;(2)a=6,b=8,则sinA=__;(3)cosA=1/3,b=4,则a=__;(4)a=12,c=13,则tanB=__;(5)sinA=3/5,则c
- 8手舞足蹈( ) 名目繁多( ) 近义词
- 9能用什么词表示表演很精彩
- 10只要功夫深铁杵磨成针的启示