设点M是等腰直角三角形ABC的底边BC的中点,P是BC边上任意一点,PE⊥AB,E为垂足,PF⊥AC,F为垂足,求证

连接AM
∵M是BC中点
∴AM⊥BC,AM平分∠BAC（三线合一）
等腰RT△ABC中,AB=AC,∠B=∠C=45°
∴∠MAC=∠MAB=90°/2=45°=∠B
∴AM=BM
∵PF⊥AC
∴∠PFC=90°
∴∠FPC=180°-∠C-∠PFC=180°-45°-90°=45°=∠C
∴PF=FC
∵PE⊥AB,BA⊥AC,PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形
∴AE=PF=FC
∴BE=AB-AE=AC-FC=AF
在△EBM和△FAM中,BM=AM,∠B=∠MAC,BE=AF
∴△EBM≌△FAM（SAS）
∴EM=MF,∠BME=∠AMF
∴∠EMF=∠EMA+∠AMF=∠EMA+∠BME=∠BMA=90°
∴EM⊥MF