那我帮楼上的补完吧,前面一部分就是(1+n)n/2,下面主要是3*(1^2+2^2+……+n^2).
先说结果吧,因为1^2+2^2+……+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1),所以最后=n*(n+1)^2.
重点是怎么求1^2+2^2+……+n^2,我在这里讲2种方法,设Sn=1^2+2^2+……+n^2.
方法1:
展开成1+2+3+4+5……+n
+2+3+4+5+……+n
3+4+5+……+n
4+5+……+n
……
+n
用求和公式:
(1+n)n/2
+(2+n)(n-1)/2
+……
+(n+n)(n-(n-1))/2
化简=0.5*[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n+4)(n-3)+……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n+n*n-(2^2+……+n^2)+(2+3+4+……+n)]=0.5*[n^3+n^2-(Sn-1)+(n+2)(n-1)/2]
这就相当于得到一个关于Sn的方程.
化简一下:
n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3Sn,得
Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n即
1/6*n(n+1)(2n+1)
方法2:
Sn=S(n-1)+n^2
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]
即Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
好了!等式左面全是n,右面全是(n-1),以此递推下去,得
Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6
=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
=S(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6
……
=S(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6
=0
所以Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n
其实,还有很多种方法啦~数学归纳法也很简单,还有用特殊的变形来互消等,通常我们是当成一个等式背下来,再带到要求的数列中去.
猜你喜欢
- 1Her father is very generous and helpful.对generous and helpful提问.
- 2根据首字母和英文解释写出下列单词.
- 3the books on the shelf are my sister's.(对划线部分提问)
- 4将Cu片放入足量浓硫酸中,若产生标准状况下4.48L气体参加反映的铜 1、求参加反映的铜的质量 2、被还原的硫
- 5HE likes to do the same things as I do.的翻译.
- 6向1000克浓度为25%的盐水中加入盐,使盐水的浓度提高一倍之后为了得到浓度为30%的盐水,需加水多少克
- 7平抛运动轨迹方程代表的意义是什么?
- 8既使你不是最完美的女生,但在我心里你是最完美的!英语怎么说?
- 9英语翻译
- 10轰炸机沿与竖直方向成53°俯冲时,在725m的高度投放炸弹,随后飞机拉高离去,炸弹在离开飞机5s时击中目标(不计空气阻力,g=10m/s2)