在区间[0,1]上任意取两个实数a,b,则函数f(x)=12x3+ax−b在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为(  ) A.18 B.14 C.34 D.78

在区间[0,1]上任意取两个实数a,b,则函数f(x)=
1
2
x3+ax−b
在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为(  )
A.
1
8

B.
1
4

C.
3
4

D.
7
8
数学人气:800 ℃时间:2019-08-20 13:49:31
优质解答
解析:函数f(x)=
1
2
x3+ax−b
在区间[-1,1]上有且仅有一个零点,
所以f(-1)f(1)<0,即b2<(a+
1
2
)2

也就是b<a+
1
2

故a,b满足
0≤a≤1
0≤b≤1
a−b+
1
2
>0

图中阴影部分的面积为S1=1−
1
2
×
1
2
×
1
2
7
8

所以,函数f(x)=
1
2
x3+ax−b
在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为P=
S1
S
7
8

故选D.
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