∫[2x/(x^2+6x+12)]dx
=2∫{x/[(x+3)^2+3]}dx
=2∫{[(x+3)-3]/[(x+3)^2+3]}d(x+3)
=∫{2(x+3)/[(x+3)^2+3]}d(x+3)-6∫{1/[(x+3)^2+3]}d(x+3)
=∫{1/[(x+3)^2+3]}d[(x+3)^2+3]-6∫{1/[(x+3)^2+3]}d(x+3)
=ln[(x+3)^2+3]-6∫{1/[(x+3)^2+3]}d(x+3).
令x+3=√3t,则:t=(x+3)/√3,dx=√3dt,
∴∫{1/[(x+3)^2+3]}d(x+3)
=(√3/3)∫[1/(t^2+1)]dt=(√3/3)arctant+C=(√3/3)arctan[(x+3)/√3]+C.
∴∫[2x/(x^2+6x+12)]dx=ln[(x+3)^2+3]-2√3arctan[(x+3)/√3]+C.
注:若原题不是我所猜测的那样,则请补充说明.
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