求dy/dx+y/x=1,当x=√2,y=0时的特解
令y/x=u,则y=ux.(1);对x取导数得dy/dx=u+x(du/dx),代入原式得:
u+x(du/dx)+u=1,即有x(du/dx)=1-2u;分离变量得du/(1-2u)=dx/x;
取积分 -(1/2)∫d(1-2u)/(1-2u)=∫dx/x
积分之得 -(1/2)ln(1-2u)=lnx,即有ln(1-2u)=ln(1/x²);
故得1-2u=1/x²,u=(1/2)(1-1/x²)=(x²-1)/(2x²);
代入(1)式得通解y=(x²-1)/(2x)+C.(2),将初始条件代入得1/(2√2)+C=0,故C=-(√2)/4;
代入(2)式即得特解y=(x²-1)/(2x)-(√2)/4.积分之得-(1/2)ln(1-2u)=lnx,即有ln(1-2u)=ln(1/x²);故得1-2u=1/x²,u=(1/2)(1-1/x²)=(x²-1)/(2x²);为什么不是:积分之得-(1/2)ln(1-2u)=lnx,即有ln(1-2u)=ln(1/x²);故得1-2u=1/x²+C积分之得-(1/2)ln(1-2u)=lnx+(1/2)lnC=ln[√C)x],即有ln(1-2u)=ln(C/x²),故得1-2u=(C/x²);故u=(1/2)[1-(C/x²)]=(1/2)[(x²-C)/x²];代入(1)式得通解y=(x²-C)/(2x);代入初始条件得:(2-C)/(2√2)=0,故得C=2;于是得特解为y=(x²-2)/(2x).这样写似乎更好点。你的追问我看不明白。你的追问不是把我写的重复了一遍吗?明白了!谢谢……
求dy/dx+y/x=1,当x=2^1/2,y=0时的特解=?
求dy/dx+y/x=1,当x=2^1/2,y=0时的特解=?
数学人气:924 ℃时间:2020-01-27 09:02:54
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