已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上． （1）求圆C的方程； （2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求

（1）设圆C的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0
则有

− D 2 −E+1＝0 4−2E+F＝0 10+3D+E+F＝0

（2分）
解得

D＝−6 E＝4 F＝4

（4分）
∴圆C的方程为：x²+y²-6x+4y+4=0；（5分）
（2）设符合条件的实数a存在，
由于l垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l上．
所以l的斜率k_PC=-2，
而kAB＝a＝−

1

kPC

，所以a＝

1

2

．（7分）
把直线ax-y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y-1=0交圆C于A，B两点，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，
即-2a＞0，解得a＜0．
则实数a的取值范围是（-∞，0）．（9分）
由于

1

2

∉(−∞，0)，假设错误，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．（10分）