已知如图,正方形ABCD中,E为DC上一点,连接BE,作CF⊥BE于P交AD于F点,若恰好使得AP=AB.求证:E为DC中点.
已知如图,正方形ABCD中,E为DC上一点,连接BE,作CF⊥BE于P交AD于F点,若恰好使得AP=AB.求证:E为DC中点.
数学人气:284 ℃时间:2019-08-21 04:31:55
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证明:过A作AM⊥BE与M.
∴∠AMB=∠AMP=90°,
∴∠1+∠3=90°
∵BE⊥CF
∴∠4=90°
∴∠AMB=∠4
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠ABC=90°.
即∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3
∵在△ABM和△BCP中,
,
∴△ABM≌△BCP(AAS)
∴AM=BP
∵AP=AB,AM⊥BE,
∴BM=
BP=
AM.
∵∠2=∠3,∠AMB=∠BCE,
∴△ABM∽△BEC
∴
==∵BC=DC
∴CE=
DC.
∴E为DC中点.
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