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正四面体A-BCD(四个面都是等边三角形的三棱锥)中,E为BC中点,求异面直线AE与BD所成角的余弦值.
正四面体A-BCD(四个面都是等边三角形的三棱锥)中,E为BC中点,求异面直线AE与BD所成角的余弦值.
数学
人气:941 ℃
时间:2020-05-20 12:25:31
优质解答
取CD中点F,连接EF、AF,可得
∵△BCD中E、F分别为BC、CD的中点,∴EF∥BD,EF=
1
2
BD
因此,∠AEF(或其补角)即为异面直线AE与BD所成的角,
设正四面体棱长为a,由题意可得AF=AE=
3
2
a,EF=
1
2
a,
∴在△AEF中,根据余弦定理得
cos∠AEF=
E
F
2
+E
A
2
−A
F
2
2EF•EA
=
1
4
a
2
+
3
4
a
2
−
3
4
a
2
2×
1
2
a×
3
2
a
=
3
6
,
即异面直线AE和BD所成角的余弦值为
3
6
.
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