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已知二次函数f(x)的二次项系数为a,满足不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式.
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,满足不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式.
数学
人气:968 ℃
时间:2019-08-21 09:44:03
优质解答
∵f(x)与f(x)+2x的二次项系数相等,
∴f(x)+2x的二次项系数为a.
又∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),
∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0),
∴f(x)=a(x
2
-4x+3)-2x=ax
2
-(4a+2)x+3a.
∵方程f(x)+6a=0有两个相等实根
∴ax
2
-(4a+2)x+9a=0有两个相等实根.
∴[-(4a+2)]
2
-36a
2
=0,解得a=1(舍去),
a=−
1
5
∴
f(x)=−
1
5
x
2
−
6
5
x−
3
5
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