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已知等比数列{an}的各项都是正数,Sn=80,S2n=6560,且在前n项中,最大的项为54,求n的值.
已知等比数列{a
n
}的各项都是正数,S
n
=80,S
2n
=6560,且在前n项中,最大的项为54,求n的值.
数学
人气:331 ℃
时间:2020-02-04 04:04:06
优质解答
由已知a
n
>0,得q>0,若q=1,则有S
n
=na
1
=80,S
2n
=2na
1
=160与S
2n
=6560矛盾,故q≠1.
∵
a
1
(1−
q
n
)
1−q
=80 (1)
a
1
(1−
q
2n
)
1−q
=6560 (2)
,由(2)÷(1)得q
n
=81(3).
∴q>1,此数列为一递增数列,在前n项中,最大一项是a
n
,即a
n
=54.
又a
n
=a
1
q
n-1
=
a
1
q
q
n
=54,且q
n
=81,∴a
1
=
54
81
q.即a
1
=
2
3
q.
将a
1
=
2
3
q代入(1)得
2
3
q(1-q
n
)=80(1-q),即
2
3
q(1-81)=80(1-q),解得q=3.又q
n
=81,∴n=4.
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