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在椭圆x240+y210=1内有一点M(4,-1),使过点M的弦AB的中点正好为点M,求弦AB所在的直线的方程.
在椭圆
x
2
40
+
y
2
10
=1内有一点M(4,-1),使过点M的弦AB的中点正好为点M,求弦AB所在的直线的方程.
数学
人气:825 ℃
时间:2019-10-17 01:29:51
优质解答
由题意,直线的斜率存在
设直线的斜率为k,则方程为y+1=k(x-4),与椭圆
x
2
40
+
y
2
10
=1联立,
消去y得(1+4k
2
)x
2
-(32k
2
+8k)x-40=0,
∴x
1
+x
2
=
32
k
2
+8k
1+4
k
2
∵M是弦AB的中点,
∴
32
k
2
+8k
1+4
k
2
=8,解得k=1,
此时方程(1+4k
2
)x
2
-(32k
2
+8k)x-40=0的判别式大于0,从而直线AB与椭圆有两个交点,k=1符合题意.
∴AB的方程是x-y-5=0.
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