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已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).
已知f(x)=-4x
2
+4ax-4a-a
2
在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).
数学
人气:410 ℃
时间:2019-08-19 16:13:35
优质解答
解∵f(x)=-4
(x−
a
2
)
2
-4a,此抛物线顶点为
(
a
2
,−4a)
.
当
a
2
≥1,即a≥2时,f(x)取最大值-4-a
2
.令-4-a
2
=-5,得a
2
=1,a=±1<2(舍去).
当0<
a
2
<1,即0<a<2时,x=
a
2
时,f(x)取最大值为-4a,令-4a=-5,得a=
5
4
∈(0,2).
当
a
2
≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,∴x=0时,f(x)取最大值为-4a-a
2
,
令-4a-a
2
=-5,得a2+4a
2
-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0].
综上所述,a=
5
4
或a=-5时,f(x)在[0,1]内有最大值-5.
∴f(x)=-4x
2
+5x-
25
16
或f(x)=-4x
2
-20x-5.
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