设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1=0有实根,求a²+b²的最小值.

显然x=0时方程有1=0,矛盾表明x≠0将方程两边同时除以x^2则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0因x有解,则x+1/x有解则⊿=a^2-4(b-2)≥0即a^2≥4b-8所以a^2+b^2≥b^2+4b-8=(b+2)^2-12≥-12即(a^2+b^2)...可是答案是4/5啊≤-2是有问题。首先一个低级错误就是a^2+b^2本身是个非负数，最小值不可能是负数更正如下：显然x=0时方程有1=0，矛盾表明x≠0将方程两边同时除以x^2则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0 令y=x+1/x则上述方程为y^2+ay+(b-2)=0（I） 令方程（I）的解为m、n（可能相等可能不相等） 当x>0时由基本不等式知y=x+1/x≥2即m≥2，n≥2由韦达定理有m+n=-amn=b-2即有a=-(m+n)b=mn+2所以a^2+b^2=(m+n)^2+(mn+2)^2=m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≥2）因对称轴m=-3n/(n^2+1)<0（注意到n≥2）则当m≥2时f(m)min=f(2)=5n^2+12n+8而因n≥2即有f(m)min≥52 当x<0时，即-x>0由基本不等式知y=x+1/x=-[(-x)+1/(-x)]≤-2即m≤-2，n≤-2由韦达定理有m+n=-amn=b-2即有a=-(m+n)b=mn+2所以a^2+b^2=(m+n)^2+(mn+2)^2=m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≤-2）因对称轴m=-3n/(n^2+1)>0（注意到n≤-2）则当m≤-2时f(m)min=f(-2)=5n^2-12n+8=5(n-6/5)^2+4/5而因n≤-2则n-6/5≤-16/5于是有(n-6/5)^2≥256/25即有f(m)min≥52 综上知a^2+b^2≥52