（1）一个动点P在圆x2+y2=4上移动时，求点P与定点A（4，3）连线的中点M的轨迹方程． （2）自定点A（4，3）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点N的轨迹方程． （3）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x

（1）设中点M坐标为（x，y），由中点坐标公式得动点P的坐标为（2x-4，2y-3），
将P点坐标代入圆得到的关于x、y的方程，就是中点M的轨迹方程（因为点P在圆上）．
即（2x-4）²+（2y-3）²=4；
（2）设中点N坐标为（x，y），圆心为O，则ON⊥AC，且圆心坐标为（0，0），于是
由kAC＝

y−3

x−4

，kON＝

y

x

，
因为ON⊥AC，所以k_AC•k_ON=-1，即

y−3

x−4

•

y

x

＝−1，整理得
（x-2）²+（y-

3

2

）²=

25

4

；
（3）①根据题意，可设圆心为（3，b）．
由y=x²-6x+1，令x=0，则y=1；令y=0，则x=3±2

2

所以，（3-0）²+（b-1）²=（±2

2

）²+b²，解得b=1，则（±2

2

）²+b²=9
所以，圆C方程为（x-3）²+（y-1）²=9
②设坐标：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B同时满足直线x-y+a=0和圆（x-3）²+（y-1）²=9
联立方程组把y消去，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0
由已知有A、B两个交点，即方程两个解，则△=56-16a-4a²＞0，
因此有x₁+x₂=4-a，x1x2＝

a2−2a+1

2

③
由OA⊥OB可知，x₁x₂+y₁y₂=0，且y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
即x1x2+a(x1+x2)+a2＝0④
把④代入③解得a=-1，将其代入△=56-16a-4a²进行检验，
△=56+16-4=68＞0，即符合．所以a=-1．