证明:
当n=1时,左式=1,右式=(1+1)^1=2,显然有左式<右式,原不等式成立.
假设当n=k时原不等式成立,即1+2^2+3^3+……+k^k<(k+1)^k
那么当n=k+1时,
左式=1+2^2+3^3+……+k^k+(k+1)^(k+1)
<(k+1)^k+(k+1)^(k+1)
=(k+1)^k+(k+1)(k+1)^k
=(1+k+1)(k+1)^k
=(k+2)(k+1)^k
<(k+2)(k+2)^k
=(k+2)^(k+1)
右式=(k+1+1)^(k+1)=(k+2)^(k+1)
即左式<右式,原不等式也成立.
综上所述,原不等式成立.
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