a,b,c为三角形ABC 的内角A,B,C的对边,m=(cosC/2,sinC/2),n=(cosC/2,-sinC/2),且m,n夹角为三分之派

你应该说的是∠mon=π/3吧
要是那样的话可以这样算设向量om,on的模分别为|om|,|on|
cos∠mon=cosπ/3=1/2=(om*on)/(|om|*|on|)
om*on=cosC/2*cosC/2-sinC/2*sinC/2=cosC
|om|=1,|on|=1
所以1/2=cosC,C=π/3,sinC=√3/2
S=3*√3/2=1/2absinC,ab=6
余弦定理：cosC=[a²+b²-(7/2)²]/(2ab)
化简得a²+b²=73/4
(a+b)²-2ab=73/4
a+b=11/2>0