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已知A,B为两个定点,动点M到A与B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线.
已知A,B为两个定点,动点M到A与B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线.
数学
人气:335 ℃
时间:2020-03-27 06:01:53
优质解答
建立坐标系如图所示,设|AB|=2a,则A(-a,0),B(a,0).设M(x,y)是轨迹上任意一点.
则由题设,得
|MA|
|MB|
=λ,坐标代入,得
(x+a
)
2
+
y
2
(x−a
)
2
+
y
2
=λ,化简得
(1-λ
2
)x
2
+(1-λ
2
)y
2
+2a(1+λ
2
)x+(1-λ
2
)a
2
=0
(1)当λ=1时,即|MA|=|MB|时,点M的轨迹方程是x=0,点M的轨迹是直线(y轴).
(2)当λ≠1时,点M的轨迹方程是x
2
+y
2
+
2a(1+
λ
2
)
1−
λ
2
x+a
2
=0,点M的轨迹是以(-
a(1+
λ
2
)
1−
λ
2
,0)为圆心,
2aλ
|1−
λ
2
|
为半径的圆.
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