已知函数f(x)=x2+alnx (1)若f(x)在x=1处取得极值,求常数a的值; (2)若函数g(x)=f(x)+2/x在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=x
2+alnx
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求常数a的值;
(2)若函数g(x)=f(x)+
在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
数学人气:319 ℃时间:2019-08-21 21:50:13
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(1)f′(x)=2x+
(x>0),
∵f(x)在x=1处取得极值,
∴f′(1)=0,即2+a=0,a=-2,
检验x=1处d导数左负右正,故为极值,
∴a=-2;
(2)g(x)=f(x)+
=x
2+alnx+
(x>0)
∴g′(x)=2x
+-
,
由于函数g(x)=f(x)+
在[1,4]上是减函数,
则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立,
即有2x
3+ax-2≤0,
-a≥2x
2-
,令h(x)=2x
2-
,h′(x)=4x
+>0在[1,4]上成立,
即h(x)在[1,4]上递增,h(4)最大,且为
.
∴-a≥
,即a≤-
.
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