以下叙述较为繁琐,望海涵:
题:求证2^(2^n)-1|2^(2^m)-1 (不知我读懂题没有,以下按此求解).
令2^(2^n)-1=x,2^(2^m)-1=y(便于叙述).
若x|y,则应有x|(y-x)而y-x={2^(2^m)-1}-{2^(2^n)-1}=2^(2^m)-2^(2^n)=2^(2^n){2^(2^m-2^n)-1}-----------1式
因为2^(2^n)-1与2^(2^n)互质,所以2^(2^n)-1必整除2^(2^m-2^n)-1----1*式
重复上述步骤(若x|y,则应有x|(y-x))
2^(2^n)-1应整除{2^(2^m-2^n)-1}-{2^(2^n)-1}=2^(2^n){2^(2^m-2^n-2^n)-1}=2^(2^n){2^【2^m-2^(n+1)】-1}------------2式
因为2^(2^n)-1与2^(2^n)互质,所以2^(2^n)-1必整除2^【2^m-2^(n+1)】-1-------2*式
比较1式2式可发现其变化在于2的次数由2^m-2^n变为2^m-2^(n+1),若重复上述步骤,可得3式
2^(2^n){2^【2^m-2^(n+2)】-1}------------3式
而2^(2^n)-1必整除2^【2^m-2^(n+2)】-1-------3*式
重复.
递归可知:由于n
m.n是正整数,若m大于n,求证2的2的n次方减1能整除2的2的m次方减1
m.n是正整数,若m大于n,求证2的2的n次方减1能整除2的2的m次方减1
数学人气:135 ℃时间:2019-09-09 11:43:01
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