自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C(C=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式
当n→∞时
1+1/2+1/3+1/4+ … +1/n
这个级数是发散的.简单的说,结果为∞
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补充:用高中知识可以证明
1/2≥1/2
1/3+1/4>1/2
1/5+1/6+1/7+1/8>1/2
……
1/[2^(k-1)+1]+1/[2^(k-1)+2]+…+1/2^k>[2^(k-1)](1/2^k)=1/2
对于任意一个正数a,把a分成有限个1/2
必然能够找到k,使得
1+1/2+1/3+1/4+ … +1/2^k>a
所以n→∞时,1+1/2+1/3+1/4+ … +1/n→∞
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