楼主我想问一下,n∈N*是指n为整数吗?反正我是按照n取整数解的
二次函数f(x)=x^+x的对称轴为x=-1/2,其顶点为(-1/2,-1/4)
可判断出f(x)的单调性为:
当x∈(-∞,-1/2)时,f(x)是减函数;
当x∈(1/2,+∞)时,f(x)是增函数
可求出
f(n)=n^+n
f(n+1)=(n+1)^+n+1=n^+3n+2
由于n为整数,故,f(n)与f(n+1)也必为整数
当n∈(-∞,-2]时,n+1≤-1,由f(x)的单调性可以判断出,区间[n,n+1]位于抛物线的递减区域,即(-∞,-1/2)内,故f(x)在x=n处取得最大值f(n),在x=n+1处取得最小值f(n+1),由f(x)连续性可知其在[n,n+1]区间上的值域是[f(n+1),f(n)],这意味着f(x)可以取到f(n+1)到f(n)之间的任意一个值(当然也包含这个范围内的任何一个整数值);因此,f(x)所能取到的整数值个数就等于[f(n+1),f(n)]这个范围内所包含的整数个数;由于f(n)与f(n+1)都是整数,这个闭区间内所包含的整数个数为[f(n)-f(n+1)+1],代入f(n)=n^+n,
f(n+1)=n^+3n+2,可得到这个数量为-2n-1
所以,此种情况下,f(x)在[n,n+1]上所能取到的整数值个数g(n)=-2n-1
于是有:n∈(-∞,-2]时,g(n)=-2n-1 这个g(n)的分段表达式成立;
当n∈[0,+∞)时,n≥0,由f(x)单调性可以判断出,区间[n,n+1]必然位于抛物线的递增区域,即(-1/2,+∞),f(x)的最大值在x=n+1处取得,为f(n+1),最小值在x=n处取得,为f(n),从而,f(x)的值域是[f(n),f(n+1)],f(x)在区间[n,n+1]上可以取到这个值域内的所有值;于是,这个值域内的整数个数g(n),可以求出是[f(n+1)-f(n)+1](因为f(n)与f(n+1)都是整数值)=2n+3
于是可得出函数g(n)在自变量n∈[-1,+∞)时的解析式为:
g(n)=2n+3
最后只剩下一个n=-1的情况没有包含在上述两种情况中:
当n=-1时,显然此时的[n,n+1]区间就是[-1,0]区间,f(x)的对称轴x=-1/2恰好位于其内,f(x)在[-1,0]上的最小值显然是顶点值-1/4,而在f(-1)=f(0)=0处,同时取得最大值,也就是说,f(x)此时在[n,n+1]上的值域为[-1/4,0],此时f(x)的值域内只包含0这个整数点,于是,此时f(x)的整数值个数g(n)为1
综上所述,可知,当n∈整数时,g(n)的解析式为:
g(n)=/ -2n-1 , n∈(-∞,-2];
| 1 , n=-1 ;
\ 2n+3, n∈[0,+∞)
设二次函数f(x)=x2+x,当x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)的所有整数值的个数是g(n)求g(n)表达式
设二次函数f(x)=x2+x,当x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)的所有整数值的个数是g(n)求g(n)表达式
数学人气:199 ℃时间:2020-05-20 03:15:59
优质解答
我来回答
类似推荐
猜你喜欢
- 1设函数f(x)=1/2x2+ax+2lnx,a属于R,已知函数f(x)在x=1处有极值 证明对任意的n﹥1,不等式ln2^n/n!﹤1/12n^3-5/8n^2+31/24n
- 2如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若tan∠DBA=15,则AD的长是( ) A.2 B.2 C.1 D.22
- 3一个棱长为2厘米的正方体,把它截成两个长方体,这两个长方体的表面积比正方体多( )平方厘米
- 4求函数y=lgx+lg(x+2)的反函数
- 5如果a和b都是非0的自然数,且a=2b.那么a和b的最大公因数是(),最小公倍数是().
- 6相转移催化剂有哪些种类及各自有什么特点
- 7地球的同步卫星距地面的高度h约为地球半径R的5倍,同步卫星正下方的地面上有一静
- 8甲乙两人同时从AB两地相向而行,甲行6小时与乙在距中点12千米相遇,这时乙行了42千米甲每小时行多少千米?
- 916(x-2y)²-25(x+2y)²
- 10I have two uncles.One si a teacher.The o_____is a doctor.还有原因