已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求y=f′(x)的值域; (2)求函数y=f(x)的单调区间.
已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).
(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求y=f′(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
数学人气:173 ℃时间:2019-08-18 01:56:58
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(1)由已知得
f′(x)=−a.
∵函数y=f(x)的导函数是奇函数.
∴f′(-x)=-f′(x),解得
a=.故
f′(x)=−,
f′(x)=−,所以
f′(x)∈(−,)(2)由(1)
f′(x)=−a=1−−a.
当a≥1时,f′(x)<0恒成立,
∴当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;
当0<a<1时,由f′(x)>0得(1-a)(e
x+1)>1,即
ex>−1+,x>ln,
∴当
0<a<1时,y=f(x)在(ln,+∞)内单调递增,
在
(−∞,ln)内单调递减.
故当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;
当0<a<1时,
y=f(x)在(ln,+∞)内单调递增;在
(−∞,ln)内单调递减.
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