如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,DE⊥AB于E,∠ADC=45°,若DE:AE=1:5,BE=3,求△ABD的面积.
如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,DE⊥AB于E,∠ADC=45°,若DE:AE=1:5,BE=3,求△ABD的面积.
数学人气:522 ℃时间:2019-08-21 03:15:03
优质解答
在△AED中,∵DE⊥AB于E,
又∵DE:AE=1;5,
∴设DE=x,则AE=5x,
由勾股定理,AD
2=AE
2+ED
2=(5x)
2+x
2=26x
2,
∴AD=
x.
在△ADC中,∵∠C=90°,∠ADC=45°,
∴∠DAC=45°.
由勾股定理,AC
2+DC
2=AD
2=26x
2,
∴AC=DC=
x.
在Rt△BED中,∵ED=x,BE=3,
由勾股定BD
2=ED
2+BE
2=x
2+3
2=x
2+9,
∴BD=
.
在Rt△BED和Rt△BCA中,
∵∠B是公共角,
∠BED=∠BCA=90°,
∴△BED∽△BCA,而AB=3+5x.
∴
=.
即
=.
解关于x的方程3+5x=
•,
两边平方得:(3+5x)
2=13•(x
2+9),
化简得:2x
2+5x-18=0,
即(x-1)(2x+9)=0,
∴x
1=2 x
2=-
.
∵x=ED>0,
∴x=ED=2,AE=5x=10.
∴AB=AE+BE=10+3=13.
∴S
△ABD=
ED•AB=
×2×13=13.
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