数列{xn}的奇数项子列与偶数项子列收敛于同一个极限a,求证{xn}收敛于a.

数列{xn}的奇数项子列与偶数项子列收敛于同一个极限a,求证{xn}收敛于a.
有人告诉我是以下证法,套用定义,取一个ε>0,存在N1,N2分别使得当n>N1,n>N2时有|X2n-a|<ε和|x2n-1-a|<ε,再取n=max{n1,n2}就可以套用定义证明{xn}极限存在了
直接这样证明可行么,子列的通项分别是2n和2n-1 直接取n>N1 和n>N2 而不是2n>N1和2n-1>N2是否合适呢