如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,AD=2,E为BC的中点 (1)求点A到面A1DE的距离; (2)设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得AM=λAD且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值;
如图,长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AA
1=,AB=1,AD=2,E为BC的中点
(1)求点A到面A
1DE的距离;
(2)设△A
1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得
=
λ且MG⊥平面A
1ED同时成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
数学人气:225 ℃时间:2020-04-08 21:40:41
优质解答
如图,
(1)由题意求得AE=
,DE=
,又AD=2,∴AE
2+ED
2=AD
2,
∴AE⊥DE.
又DE⊥AA
1,AA
1∩AE=A,AA
1⊂面A
1AE,AE⊂面A
1AE,
∴DE⊥面A
1AE,∴平面A
1AE⊥平面A
1ED,
∵
A1A=AE=,
取A
1E的中点H,AH⊥A
1E,AH⊥DE,A
1E∩ED=E,A
1E⊂面A
1DE,
ED⊂面A
1DE,
∴AH⊥面A
1DE,
AH为点A到面A
1DE的距离.
∵AH=1,∴点A到面A
1DE的距离为1
(2)在三角形A
1ED中,∵H是A
1E的中点,G为三角形A
1ED的重心,
又∵AH⊥面A
1ED,过点G作GM∥AH交AD于M,
则MG⊥A
1ED,且AM=
AD,
故存在实数
λ=,使得
=λ,且MG⊥平面A
1ED同时成立.
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