在DA上截取DH=DB,易知三角形BDH是正三角形,
所以BH=BD,又BC=BA,易证角ABH=角DBC,
所以三角形BDC全等于三角形ABH,
所以DC=AH,AD=AH+DH=DC+DB.
因为DA^2+DB^2+DC^2
=DA^2+(DB+DC)^2-2DBDC
=2DA^2-2DBDC
=2(DA^2-DBDC)
再作BK垂直AD
在直角三角形BDK中,DK=0.5BD.
在直角三角形ABK中,
因为a^2=BK^2 +AK^2
=BK^2 +(AD-DK)^2
=BK^2 +AD^2 -2ADDK+DK^2
=BD^2+ AD^2 -2AD*0.5BD
=BD^2+ AD^2 -ADBD
=BD^2+ AD^2 -(BD+CD)BD
=BD^2+ AD^2 -BD^2-DBDC
=DA^2 -DBDC
所以DA^2+DB^2+DC^2=2a^2.
三角形ABC是边长为a的正三角形,D是三角形外一点,且有角ADB=角ADC=60度,求证:DA^2+DB^2+DC^2=2a^2
三角形ABC是边长为a的正三角形,D是三角形外一点,且有角ADB=角ADC=60度,求证:DA^2+DB^2+DC^2=2a^2
数学人气:428 ℃时间:2019-09-02 08:40:00
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