在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点． （1）求证：BF∥平面AD1E； （2）求证：D1E⊥平面AEC．

证明：（1）取DD₁的中点G，连接GB，GF．∵E、F分别是棱BB₁、DA的中点，
∴GF∥AD₁，BE∥D₁G且BE=D₁G，∴四边形BED₁G为平行四边形，∴BG∥D₁E．
又D₁E、D₁A⊂平面AD₁E，BG、GF⊄平面AD₁E，∴BG∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E．
∵BG、GF⊂平面BGF，且BG∩GF=G，∴平面BGF∥平面AD₁E．
∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AD₁E．
（2）∵AA₁=2，A₁D₁=1，∴AD1＝

A A 21 +A1 D 21

＝

5

．
同理可得：AE＝

2

，D1E＝

3

．∵A

D

21

＝D1E2+AE2  ，∴D₁E⊥AE．
同理可证得D₁E⊥CE．
又AE∩CE=E，AE⊂平面AEC，CE⊂平面AEC，∴D₁E⊥平面AEC．