对方程两端求微分后等式为什么还成立?

等号成立,说明左右两边的函数完全相等.根据微分的定义,f'(x)=[f(x+dx)-f(x)]/dx,其中取dx趋于0这个极限(如果求严格,可以参考极限的定义).左右dx可以取相等,仍然满足导数这个定义,在这个意义下,f(x+dx),f(x),dx三者左右两边完全相等,极限也相等,所以求微分后两边都成立.
这个等号必须表示函数相等,而不能表示其中某个点上,两个不同的函数取值恰好相等.