在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为_.
在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______.
数学人气:176 ℃时间:2019-10-17 00:57:46
优质解答
根据题意设P的坐标为(t,-t
3+1),且0<t<1,
求导得:y′=-3x
2,故切线的斜率k=y′
|x=t=-3t
2,
所以切线方程为:y-(-t
3+1)=-3t
2(x-t),
令x=0,解得:y=2t
3+1;令y=0,解得:x=
,
所以△AOB的面积S=
(2t
3+1)•
=
(2t2+) 2,
设y=2t
2+
=2t
2+
+
≥3
,
当且仅当2t
2=
,即t
3=
,即t=
取等号,
把t=
代入得:S
min=
.
故答案为:
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