矩阵的行(列)互换不改变矩阵的秩

矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩.
证明 只需证明行变换不改变列秩.列变换可用矩阵的转置证得.
假设A的列向量为a1,a2,a3...an ,它的一个极大线性无关部分组为 ai1,ai2...air,而经过初等行变换之后的列向量为a1',a2',a3...an' ,只需证明a1',a2',a3...air',是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可.
只需分别证明向量组 a1',a2',a3...air'（*）线性无关和a1',a2',a3...an' 中的任意一个向量都可以被（*）线性表出.构造方程xi1ai1',xi2ai2',...xirair'=0 ,由于ai1,ai2...air 线性无关,线性方程组ki1ai1,ki2ai2,...,kirair=0 只有零解.而方程xi1ai1',xi2ai2',...xirair'=0 是由 ki1ai1,ki2ai2,...,kirair=0经过初等行变换得来的,而初等行变换是同解变换,所以xi1ai1',xi2ai2',...xirair'=0只有零解,于是ai1',ai2'...air' 线性无关.对于A 的任意一个列向量β ,都可被ai1,ai2...air 线性表出,利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后,β'可以被（*）线性表出.
证毕.