已知函数f(x)=sin²x+acosx+5/8a-3/2,a∈R当a=1时求函数f(x)的最大值
已知函数f(x)=sin²x+acosx+5/8a-3/2,a∈R当a=1时求函数f(x)的最大值
对于区间【0,π/2】上任意一个x,都有f(x)≤1成立,求实数a的取值范围
对于区间【0,π/2】上任意一个x,都有f(x)≤1成立,求实数a的取值范围
数学人气:625 ℃时间:2020-01-30 23:44:48
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(1)当a=1时f(x)=sin²x+cosx-7/8 对f(x)求导,得:f′(x)=2sinxcosx-sinx=sinx(2cosx-1) 令f′(x)=0,得:sinx=0或cosx=1/2 分析其一个周期x∈[0,2π] 当x∈(0,π/3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增 当x∈(π/3,π)时f′(x)<0,f(x)单调递减 当x∈(π,5π/3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增 当x∈(5π/3,2π)时,f′(x)<0,f(x)单调递减 比较两个极大值f(π/3)和f(5π/3)得:f(5π/3)=f(π/3)=3/8 所以当a=1时,f(x)的最大值为3/8 (2) 令t=cosx,则1-t²=sin²x,对于x∈[0,π/2],有t∈[0,1] 于是f(x)=1-t²+at+(5/8)a-3/2=-t²+at+(5/8)a-1/2 令g(t)=-t²+at+(5/8)a-1/2,当g(t)取得最大值时,对应的f(x)也能取得相等的最大值 对g(t)求导,得:g′(t)=a-2t 当a≤0时,对于t∈[0,1]有g′(t)≤0,g(t)在t∈[0,1]上单调递减 于是当t=0时g(t)取得最大值g(0)=(5/8)a-3/2<0,符合题设 当a>2时,g′(t)在t∈[0,1]上为正,g(t)在t∈[0,1]上单调递增,于是当t=1时g(t)取得最大值g(1)=(13/8)a-3/2 令(13/8)a-3/2≤1,得:a≤20/13<2,不符合 当0<a≤2时,g′(t)在t∈[0,a/2)时为正,在t∈(a/2,1]时为负 于是当t∈[0,a/2)时,g(t)单调递增;当t∈(a/2,1]时,g(t)单调递减 当t=a/2时g(t)取得最大值g(a/2)=a²/4+(5/8)a-1/2 令g(a/2)≤1,得a²/4+(5/8)a-3/2≤0,即2a²+5a-12≤0,(2a-3)(a+4)≤0 解出-4≤a≤3/2,于是0<a≤3/2 ∴所求a的范围是a≤3/2
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