求由直线y=0,x=0,x=1和曲线y=x^3+1所围成的平面图形的面积及该图形x轴旋转一周所得旋转体的体积.

根据定积分,x从0到1积分,面积S=∫(0到1)x^3+1dx=x^4/4+x|(上限1-下限0)=1/4+1-0=5/4.
绕X轴旋转得旋转体体积V=π∫(0到1）(x^3+1)^2dx=π∫(0到1)(x^6+2x^3+1)dx=π(x^7/7+x+x^4/2)|(上限1-下限0)=π(1/7+1+1/2)=(23/14)π.
绕X轴旋转体体积计算公式V=π∫(f(x)^2)dx,f(x)相当于半径.