已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明1/a2−a1+1/a3−a2+…+1/an+1−an<1.
已知数列{log
2(a
n-1)}(n∈N
*)为等差数列,且a
1=3,a
3=9.
(Ⅰ)求数列{a
n}的通项公式;
(Ⅱ)证明
+
+…+
<1.
数学人气:876 ℃时间:2019-08-21 21:40:23
优质解答
(I)设等差数列{log
2(a
n-1)}的公差为d.
由a
1=3,a
3=9得2(log
22+d)=log
22+log
28,即d=1.
所以log
2(a
n-1)=1+(n-1)×1=n,即a
n=2
n+1.
(II)证明:因为
=
=
,
所以
+
+…+
=
+
+
+…+
=
=1-
<1,
即得证.
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